Tema 7: Vectors a l'espai

El curs passat estudiàvem la geometria en el pla, . Aquest any, l'estudiarem a l'espai, . Això vol dir que a part dels punts, vectors i rectes també treballarem amb plans.

L'espai té 3 dimensions, les anomenarem , i i representarem els objectes en aquests eixos coordenats.

Punts a l'espai

Un punt a l'espai té 3 coordenades. Per exemple, el punt es representa de la manera següent:

Vectors a l'espai

Donats 2 punts a l'espai, i , definim el vector d'origen i extrem com un segment en l'espai que determina una direcció, un mòdul i un sentit.

Les coordenades del vector i el seu mòdul es calculen segons:

Dos vectors són equipol.lents si tenen el mateix mòdul, la mateixa direcció i el mateix sentit. El conjunt format per tots els vectors equipol.lents s'anomena vector lliure. Normalment, el representant del vector lliure que s'utilitza és el que té origen a l'origen de coordenades i extrem a un punt . Les coordenades del vector lliure doncs, coincideixen amb les coordenades del punt .

Operacions amb vectors

Les operacions amb vectors en l'espai són similars a les que definíem amb els vectors en el pla. Aquí però definirem un producte més, el producte vectorial, que descobrirem tot seguit.

Suma

Definim la suma de dos vectors i com la operació:

La suma de dos vectors compleix la regla del paral.lelogram tal i com vam veure amb la suma de vectors en el pla.

Propietats

La resta de dos vectors s'entén com la suma d'un vector i l'oposat d'un altre, per tant, conserva les mateixes propietats.

Producte d'un vector per un nombre real

Sigui un nombre real diferent de zero i un vector a , el producte de per és un altre vector de components:

Per tant, té la mateixa direcció que el vector \overrightarrow{ u } i el sentit dependrà de si és un nombre positiu o negatiu. Pel que fa al mòdul: .

El producte d'un vector per un nombre real ens permet obtenir vectors unitaris, de mòdul : una manera senzilla d'obtenir un vector unitari a partir d'un de donat, és dividir les seves components pel mòdul del vector. Si és un vector qualsevol, té mòdul 1.

Propietats

Espais vectorials

Direm que un conjunt qualsevol és un espai vectorial sobre un cos si estan definides les operacions:

i a més es compleixen les propietats següents:

El conjunt de vectors a sobre el cos dels nombres reals , amb les operacions de suma i producte per un escalar formen un Espai Vectorial.

Combinació lineal de vectors

Donat un conjunt de vectors de l'espai vectorial , , direm que un vector és una combinació lineal de tots ells si es pot expressar de la manera següent:

amb

Per exemple el vector és combinació lineal dels vectors i ja que:

Si un vector ha de ser combinació lineal d'un altre vector, necessàriament hauran de ser múltiples.

Un altre exemple de combinació lineal de vectors és la diagonal d'un paral.lelepípede: la diagonal del cos és combinació lineal de les arestes concurrents dels vèrtexs.

Vectors linealment dependents i independents

Direm que un conjunt de vectors és linealment dependent si com a mínim un dels vectors és combinació lineal dels altres.

Per exemple, el conjunt de vectors:

és linealment dependent perquè:

Si a un conjunt de vectors linalment dependents li afegim nous vectors, el conjunt resultant també serà linealment dependent. A la pràctica, que dos vectors siguin linealment dependents vol dir que són proporcionals i per tant tenen la mateixa direcció.

Direm que un conjunt de vectors és linealment independent si cap dels vectors és combinació lineal dels altres.

Per saber si un conjunt de vectors donats és linealment independent només caldrà veure que al plantejar una combinació lineal entre ells, necessàriament perquè es compleixi la igualtat tots els escalars han de ser zero:

Un conjunt de vectors és linealment independent

Si alguna de les constants és diferent de zero, llavors el conjunt és linealment dependent.

Exemple 1

Digues si el conjunt de vectors següent és linealment independent.

Anem a veure si existeix alguna combinació lineal de tots ells on almenys una constant sigui diferent de zero:

Per solucionar aquesta equació cal resoldre el sistema:

És un sistema homogeni. Tal com vam veure al tema passat, els sistemes homogenis sempre són compatibles. Ara només caldrà veure si és:

Anem a resoldre el sistema pel mètode de Gauss:

El sistema és compatible determinat amb la solució trivial per tant són vectors linealment independents.

Per acabar, es pot demostrar que:

Hi ha una altra manera de veure si un conjunt de vectors és linealment dependent o independent:

Bases d'un espai vectorial

Anem a definir què és una base d'un espai vectorial:

Donats vectors direm que són base d'un espai vectorial si compleixen les condicions següents:

  • Són linealment independents
  • Generen tot l'espai vectorial : Qualsevol vector de es pot expressar com a combinació lineal de tots ells.

El nombre de vectors linealment independents necessaris per formar una base d'un espai vectorial s'anomena dimensió.

Bases a

En l'espai qualsevol conjunt de vectors que siguin linealment independents formaran base. La base més utilitzada però és la base canònica amb els 3 vectors unitaris i ortogonals entre ells:

Exemple 2

El conjunt de vectors formen base?

Veure si formen base és el mateix que demostrar que són linealment independents, o sigui, que cap d'ells es pot expressar com a combinació lineal dels altres dos.

Tal com hem dit, la solució a l'equació:

haurà de ser , i (solució trivial) en cas que formin base. Si trobem alguna solució amb paràmetres diferents de zero llavors podem afirmar que com a mínim un dels vectors és combinació lineal dels altres dos, i per tant, no formen base.

L'equació vectorial anterior dóna lloc al sistema homogeni:

Resolem-lo pel mètode de Gauss (ja canviem l'ordre de la 1a i la 2a equació):

És un sistema compatible indeterminat. Tenim 2 equacions i 3 incògnites, per tant, hi ha infinites solucions pels paràmetres, i per això, segur que alguna tindrà els 3 paràmetres diferents de zero. Podem afirmar doncs, que els 3 vectors no formen base ja que podem expressar un d'ells com a combinació lineal dels altres dos. Anem a veure-ho ara.

Acabem de resoldre el sistema:

Si fem que , llavors:

Si agafem el valor llavors:

i la combinació lineal seria:

Components d'un vector en una base

Descomposar un vector en una base voldrà dir escriure el vector com a combinació lineal de la base. Els escalars obtinguts els anomenarem components del vector en aquella base. Es pot demostrar que donada una base, les components del vector en aquella base són úniques.

Exemple 3

Donat el vector de components en la base canònica, troba les seves components en la base .

Podem expressar el vector donat com:

Anem a expressar-lo en la base donada. Això vol dir que hem de trobar uns escalars , i que compleixin:

Això dóna lloc al sistema:

Que com que és esglaonat el podem solucionar tranquil.lament i trobem que:

Per tant, el vector té components en la base .

Producte escalar

Considerem ara dos vectors qualssevol de . Podem afirmar que amb 2 vectors aquests estaran en el mateix pla. Si anomenem els 2 vectors i , definim el producte escalar com:

on és l'angle que formen els 2 vectors amb .

Recordem que el producte escalar de 2 vectors és un nombre real.

També es pot demostrar que, si i , el producte escalar també es pot expressar en components com:

Propietats del producte escalar

Recordem que el producte escalar de dos vectors ortogonals (perpendiculars) és zero, i el producte escalar de dos vectors paral.lels és màxim igual al producte de mòduls.

Projecció d'un vector sobre un altre

Considerem els vectors del gràfic i .

Si calculem el seu producte escalar dels vectors i obtenim:

és la projecció del vector en la direcció del vector .

En general, definim la projecció d'un vector sobre un vector com:

on és un vector unitari amb la mateixa direcció i sentit que .

Producte vectorial

Donats dos vectors i , el producte vectorial d'aquests dos vectors és un vector perpendicular als vectors i .

Es pot demostrar que els components del vector producte vectorial es troben calculant el determinant següent:

on , i .

Propietats del producte vectorial

  1. El mòdul del producte vectorial es calcula segons:
  2. El producte vectorial és anticommutatiu:
  3. Associativa respecte el producte per un escalar:
  4. Distributiva respecte la suma:

Producte mixt

Donats 3 vectors , i definim el producte mixt com:

Es pot demostrar que el resultat de fer aquesta operació s'obté resolent el determinant següent:

Ja veiem que el producte mixt dóna lloc a un nombre real.

Aplicacions

Càlcul de l'àrea d'un paral.lelogram

Imagineu que volem calcular l'àrea del paral.lelogram de la figura:

L'àrea d'un paral.lelogram és la seva base multiplicada per l'altura. En el dibuix:

Per tant, l'àrea d'un paral.lelogram és el mòdul del producte vectorial dels vectors base i lateral.

Càlcul del volum d'un paral.lelepípede

Considerem el paral.lelepípede de la figura:

Per calcular el seu volum, hem de trobar l'àrea de la base (que ja l'hem trobada a l'apartat anterior) i multiplicar-ho per l'altura, . Si ens hi fixem, l'altura és la projecció ortogonal del vector en la direcció perpendicular a la base, o sigui, el pla determinat pels vectors i :

Per tant, el volum és:

El volum és el producte mixt entre els vectors .

Moviment d'una partícula carregada dins d'un camp magnètic

En física, quan una partícula carregada viatja a través d'un cap elèctric i un camp magnètic , aquesta experimenta una força anomenada Força de Lorentz segons:

on és la càrrega de la partícula i la seva velocitat. Si estudiem una mica la fòrmula veiem que gaudeix de dues parts. Una primera part deguda a la intensitat de camp elèctric que propulsa la partícula en la mateixa direcció que el seu moviment, i una segona part deguda al camp magnètic que impulsa la partícula amb una força perpendicular a la seva velocitat (per la naturalesa del producte vectorial).

Ens fixarem en aquesta segona part, . Si calculem el mòdul del producte vectorial obtenim:

on és l'angle entre la velocitat de desplaçament de la partícula i el camp magnètic \overrightarrow{ B }. D'aquesta manera, quan la velocitat i el camp magnètic són paral.lels, aquesta part de la força es cancel.la, i la partícula segueix la mateixa trajectòria, paral.lela al camp elèctric. Però si no són paral.lels, la partícula comença a experimentar una força perpendicular a la seva direcció de moviment, fet que fa que la partícula experimenti una trajectòria circular. En absència de camp elèctric, Si i \overrightarrow{ B } són perpendiculars, la trajectòria de la partícula serà circular, i si l'angle entre el camp magnètic i la velocitat està entre zero i noranta graus, , la trajectòria de la partícula serà helicoidal. Cliqueu aquest enllaç per una explicació més detallada del fenomen.

Aquest fet va ser aprofitat per dissenyar els primers detectors de partícules subatòmiques al CERN, les càmeres de bombolles. Les partícules carregades, producte de desintegracions atòmiques, atravessaven un medi aquós i en presència d'un camp magnètic, experimentaven trajectòries helicoidals. La mesura el radi d'aquestes trajectòries permetia trobar les velocitats originals de les partícules.

Trajectòries helicoidals de partícules carregades atravessant un medi d'hidrogen-neó líquid (Font: CERN)

Trajectòries helicoidals de partícules carregades atravessant un medi d'hidrogen-neó líquid (Font: CERN)