Tema 9: Problemes mètrics

Distància entre dos punts

Tal i com vèiem el curs passat, la distància entre 2 punts i a és el mòdul del vector format per aquests punts:

Distància d'un punt a una recta

Donat un punt i una recta qualsevol, la distància d'aquest punt a la recta s'obté calculant la projecció ortogonal del punt sobre la recta , el punt . La distància serà el mòdul del vector .

Aquesta distància es pot calcular de moltes maneres. Ho farem amb un exemple concret i el resoldrem de 3 maneres completament diferents.

Exemple 1

Troba la distància del punt a la recta .

  1. Expressem la recta amb l'equació paramètrica, escrivim la projecció en funció del paràmetre i exigim que el vector sigui perpendicular al vector director de la recta, .

    La recta que ens donen en forma paramètrica és:

    Per tant, qualsevol punt de la recta , i en particular, tindrà la forma:

    Si calculem ara la distància entre i a través del mòdul del vector , tenim que:

    Alhora, aquest vector és perpendicular al vector director de la recta, . Per tant, el seu producte escalar serà zero:

    Per tant, la projecció de sobre la recta és: i la distància del punt a la recta és:

  2. Calculem l'equació del pla perpendicular a que passa per . La intersecció entre la recta i el pla serà necessàriament el punt , la projecció de sobre la recta .

    El pla perpendicular a tindrà de vector normal el vector director de la recta: . Per tant, serà de la forma: . Com que el punt pertany al pla, tenim que:

    L'equació del pla és doncs:

    Si substituïm les coordenades , i en funció de a l'equació del pla i aïllem trobarem les coordenades del punt :

    A partir d'aquí, calculem la distància igual que ho hem fet a l'apartat anterior.

  3. Calculem la distància aplicant la fòrmula de la distància d'un punt a una recta .

    Donat un punt de la recta qualsevol, mirant el dibuix i aplicant la trigonometria, la distància entre i , es pot calcular com:

    Si multipliquem i dividim l'expressió anterior pel mòdul del vector director de la recta, obtenim:

    Si ens fixem, el numerador és el mòdul del producte vectorial dels vectors i . Per tant, podem reescriure aquesta fòrmula de la manera següent:

    Si apliquem la fòrmula en el nostre problema concret:

    Hem agafat com a punt el punt de l'equació contínua de la recta.

    Aplicant ara la fòrmula:

Distància d'un punt a un pla

Per calcular la distància d'un punt a un pla, cal fer un procediment igual a la manera 2 de l'exemple 1 anterior:

  1. Primer caldrà trobar la recta perpendicular al pla que passa pel punt en qüestió. Per això agafem com a vector director de la recta el vector normal del pla. Com a punt de la recta agafem el punt i trobem l'equació.

  2. Un cop tenim l'equació de la recta, la projecció del punt sobre el pla, , és la intersecció de la recta amb el pla.

  3. La distància entre i el pla és el mòdul del vector

Punt simètric d'un punt respecte una recta o un pla

Un cop hem trobat la projecció d'un punt sobre una recta o un pla, el punt , considerem ara el punt simètric al punt , com aquell que el punt mig del segment és . Això ho veurem més clar en un dibuix:

Per tant, per trobar el punt simètric respecte una recta o pla, primer caldrà trobar la projecció ortogonal del punt respecte la recta o pla i després aplicar la fòrmula del punt mig d'un segment. Si assumim que , i , es compleix que:

Distància entre dues rectes

Si les dues rectes es tallen, la distància serà zero. Aquest cas només té sentit plantejar-lo per dues rectes que són paral.leles o es creuen. Per tant, primer caldrà estudiar la posició relativa entre les dues rectes per determinar el que s'ha de fer després. Ho veurem tot a través d'un exemple.

Exemple 2

Troba la distància entre les rectes i .

  1. Posició relativa de les dues rectes

    Agafem els 2 vectors directors de i , i . Juntament amb un punt de , i un punt de , , creem el vector . Amb aquests 3 vectors, mirem quin és el determinant de la matriu . Si aquest determinant és diferent de zero, voldrà dir que el rang és 3 i les rectes es creuen:

    Per tant, les rectes es creuen.

  2. Considerem la recta perpendicular a i a .

    Aquesta recta tindrà de vector director que serà perpendicular alhora a i a :

  3. Trobem l'equació del pla que conté la recta i la recta

    Tenim 2 vectors que pertanyen en aquest pla, el vector de i el vector de . Només ens falta agafar un punt del pla per trobar-ne l'equació. Com a punt del pla podem agafar el punt de . Per tant, el pla tindrà com a equació:

  4. Busquem la intersecció del pla amb la primera recta, . Això ens donarà un punt, diguem-li .

    Expressem l'equació de de forma paramètrica i substituïm els valors de , i en l'equació del pla:

    Per tant, substituïnt el valor de a l'equació paramètrica de trobem que el punt té coordenades:

    Que casualment coincideix amb .

  5. Trobem l'equació de la recta :

  6. La distància entre les rectes i és la distància de a la recta :

  7. Representació gràfica.

    A sota trobem la representació gràfica del problema. En blau hi ha representades les rectes i originals, en taronja la recta perpendicular a totes dues. També hi ha representat el pla en color blau.

Existeix també una fòrmula per a calcular la distància entre dues rectes que es creuen. Donades dues rectes i de vectors directors i respectivament, amb punts de i de , la distància entre les dues rectes es pot trobar amb l'expressió següent:

També podíem haver fet aquest problema d'una altra manera. Anem a veure-ho a sota.

  1. Trobem l'equació d'un pla que conté la recta de sota, . Per trobar-lo, com que les dues rectes ja hem comprovat prèviament que es creuen, agafo els 2 vectors directors de i i el punt de :

  2. Per trobar la distància entre i nomes ens cal trobar la distància entre i la seva projecció ortogonal sobre el pla , . Per fer-ho, calculem la recta perpendicular al pla que passa per , . Aquesta tindrà vector director :

  3. El punt serà la intersecció entre i el pla . Qualsevol punt de té la forma: . Si ho substituïm a l'equació de :

  4. La distància entre les dures rectes serà el mòdul del vector :

Distància d'una recta a un pla

Si la recta i el pla es tallen, o la recta està dins el pla, llavors la distància també serà zero. Per tant, primer caldrà trobar la posició relativa entre la recta i el pla.

Si són paral.lels no coincidents, l'únic que haurem de fer és agafar un punt de la recta i calcular la distància del punt al pla donat.

Projecció d'una recta sobre un pla

Donat un pla i una recta qualsevol, es pot calcular la seva projecció sobre el pla. Diguem que és com si calculéssim l'ombra de la recta sobre el pla. Ho veurem a través d'un exemple.

Exemple 3

Calcula la projecció de la recta sobre el pla .

Primer de tot cal comprovar la posició relativa entre la recta i el pla. El vector director de la recta és i el vector normal del pla és . Veiem que no són paral.lels, per tant, la recta i el pla es tallen.

Per calcular la projecció de la recta sobre el pla, primer de tot calcularem la projecció d'un punt de la recta sobre el pla, . Llavors, calcularem el punt de tall de la recta amb el pla . Amb aquests 2 punts, ja en tindrem prou per trobar la projecció de la recta sobre el pla , .

L'equació de la recta que és perpendicular a i passa per té vector director i és:

Per trobar només ens cal trobar la intersecció de amb :

.

Ara trobarem el punt d'intersecció de amb el pla i tindrem el segon punt. Si substituïm l'equació paramètrica de a l'equació del pla obtenim:

Llavors, l'equació de la projecció de sobre el pla , o sigui la podem trobar amb els punts i C=(-\frac{ 8 }{ 5 },3,3)$$. Calculeu el seu vector director:

Per tant, l'equació de la recta és:

Distància entre dos plans

Aquí funcionarà una mica igual. Caldrà primer estudiar-ne la seva posició relativa. Si els plans són coincidents o es tallen, la distància serà zero. Si els plans són paral.lels, s'agafarà un punt qualsevol d'un dels plans i es calcularà la distància d'aquest punt a l'altre pla.