Tema 1: Derivades

Derivada d'una funció en un punt

Aquest tema pretén definir el concepte de derivada a partir de la seva imatge geomètrica: el pendent de la recta tangent a una corba determinada en un punt concret. A partir d'aquí, definirem la funció derivada i introduirem la metodologia necessària per calcular de la derivada de qualsevol funció.

Per això, cal haver treballat prèviament els temes Funcions i Límits i continuïtat de funcions de primer curs de batxillerat científico-tecnològic.

Definició de derivada d'una funció en un punt

Donada una funció real i un punt d'abcissa , , on , considerem el límit següent:

si aquest límit existeix s'anomena derivada de la funció en , :

Aquesta expressió es pot escriure d'una altra manera si adoptem el canvi de variable següent:

Exemple 1

Donada calculeu .

Exemple 2

Esbrineu si existeix la derivada en els punts , i de la funció a trossos:

Per calcular la derivada en aquests punts, el que haurem de fer és calcular els límits anteriors per , i .

Veiem que els límits laterals no coincideixen. Per tant, el límit no es pot calcular, o sigui que

Interpretació geomètrica de la derivada

Anem a veure si amb un altre dibuix entenem què és això de la derivada. Fixeu-vos amb el gràfic següent:

Fixem-nos amb el gràfic de la funció f. Considerem dos punts, un punt de coordenades i un altre punt de coordenades . Amb el punt lliscant podeu anar movent el punt . Tracem una secant des del punt al punt . Considerem el triangle dibuixat a la figura. El catet inferior té longitud i el catet superior . El pendent de la recta secant és el quocient entre aquests dos valors i també coincideix amb la tangent de l'angle :

D'altra banda, segurament a cursos anteriors vèieu que aquesta expressió també s'anomena taxa de variació mitjana (TVM) entre i .

Si ens fixem aquesta fórmula és molt semblant a la de la definició de la derivada d'una funció en el punt , . La diferència està en el límit.

Si ara anem acostant cada vegada més el punt al punt , veiem que aquesta recta secant, en el límit que es converteix en una recta tangent en , i per tant:

La derivada en de , , és el pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció en el punt i es calcula a partir del límit:

Per tant, també podem assegurar que si en la funció és creixent(pendent positiu) , i al revés, si en la funció és decreixent (pendent negatiu).

Definició de recta tangent a una corba en un punt

Vist això, anomenem recta tangent a una corba en el punt , a aquella recta que compleix:

  1. Conté el punt
  2. Té per pendent

D'aquí podem expressar l'equació de la recta tangent a una funció en el punt de la manera:

Exemple 3

Trobeu l'equació de la recta tangent a la funció en el punt d'abcissa .

El punt en aquest cas és el punt

Anem a calcular la derivada de la funció en :

Per tant, l'equació de la recta tangent a en és:

Relació entre la derivada i la continuïtat d'una funció en un punt

Anem a demostrar el teorema següent:

Si una funció és derivable en és contínua en aquest punt

Cal notar que el recíproc de l'afirmació anterior no és cert: una funció pot ser contínua i no derivable en un punt. Però el que sí que es compleix és el contrari del teorema enunciat:

Si una funció és no és contínua en no és derivable en aquest punt

Demostració

Que una funció sigui derivable en el punt vol dir que està definida la seva derivada i en particular existeix el límit:

Si existeix el límit del quocient anterior, podem fer:

Per tant es compleix que:

I arribem a la definició de funció contínua en un punt : existeix el límit de la funció quan s'acosta a i aquest límit és igual a la imatge de , :

Exemple 4

Digues si la funció a trossos

és:

  1. Derivable en , i
  2. És contínua en aquests punts

Anem a veure si és derivable en aquests punts. Calcularem la derivada a partir del límit i en els casos que la funció estigui definida de manera diferent per la dreta i per l'esquerra dels punts calcularem els límits laterals.

no és derivable en .

és derivable en i .

no és derivable en ja que els límits laterals no coincideixen.

En els casos que la funció és derivable la funció serà contínua en aquests punts. Per tant, en la funció és contínua i derivable. Però pot ser que no sigui derivable i en canvi, sí que sigui contínua. Anem a veure què passa en i :

Com que els límits laterals no coincideixen no és derivable ni contínua en

Com que els límits laterals sí que coincideixen no és derivable però sí contínua en

Si mireu la representació gràfica de la funció i què passa en aquests punts en concret, entendreu més coses.

La funció derivada

Definició de funció derivada

Sigui una funció real de domini i contínua en tot . Anomenem funció derivada de (o derivada de ) a aquella funció que representem per de domini que associa a tot element d' la derivada d'aquesta funció en aquest punt:

Exemple 5

Calcula la funció derivada de la funció .

Per tant: és la derivada de .

Regles de derivació

Aplicant la definició de derivada (càlcul del límit), podem llistar les derivades de les funcions més comunes. Demostrarem les 4 primeres regles de derivació i la resta les posarem en una taula. En aquest enllaç trobareu més informació de les regles de derivació així com els vídeos amb la seva demostració.

Regla 1

Si ,

Demostració

Regla 2

Si

Demostració

Regla 3

Si i són funcions derivables també és derivable i es compleix: .

Demostració

Regla 4

Si és una funció derivable on també és derivable i es compleix: .

Demostració

Taula de derivades

Funció Derivada
Constant
Identitat
Suma
Producte per un nombre
Potència
Polinomi:
Producte
Quocient
Trigonomètriques
Inverses Trigonomètriques
Composició (regla de la cadena)
Exponencials
Logarítmiques

Exemples

Exemple 6: Derivada d'un quocient

Troba la derivada de la funció següent: .

Com que és un quocient:

Exemple 7: Derivada d'una funció composta

Troba la derivada de la funció següent: .

Veiem que aquest és el resultat de la composició de dues funcions, la funció i la funció . Per tant, primer apliquem la regla de derivació de la funció sinus i llavors derivem la segona funció:

Exemple 8: Derivació logarítmica

Troba la derivada de la funció següent: .

A vegades cal aplicar trucs per poder derivar algunes funcions. Quan tenim funcions a l'exponent, el més pràctic és treure el logaritme a banda i banda de l'expressió donada i derivar després:

Derivació successiva

El procés de càlcul de la derivada es pot dur a terme moltes vegades. De fet, si prenem la definició de la derivada com a límit, tenim que:

on és la derivada -èssima de .

Exemple 9: Calcula la derivada d'ordre n de la funció: f(x)=ln(x+1)