Tema 10: Límits i continuïtat de funcions

En aquest tema estudiarem en detall la continuïtat d'una funció i també què passa en els punts que aquesta és discontínua. Ho farem utilitzant el concepte de límit que ja vam començar a treballar amb les successions. D'altra banda, ens fixarem també què passa quan la variable es fa molt petita () i quan aquesta es fa molt gran ().

Concepte de límit d'una funció en un punt

En el tema de successions, teníem que sempre calculàvem el límit d'una successió quan . I ens trobàvem amb 3 casos:

En aquest tema traslladarem el concepte de límit a les funcions. Si tenim una funció podem plantejar-nos 3 coses:

  1. Què passa quan
  2. Què passa quan
  3. Què passa quan on

Ens fixarem aquí en el primer cas i més endavant ja pensarem què passa amb una funció en els límits infinits.

Interpretació gràfica

A través d'un exemple molt senzill veurem què vol dir gràficament el límit d'una funció en un punt.

Exemple 1

Considerem la funció . El domini d'aquesta funció són tots els nombres reals. Volem calcular quin és el límit d'aquesta funció quan s'acosta a . Com que el domini d'aquesta funció són tots els nombres reals, el tindrà imatge, de fet, . Considerem ara un petit entorn de que l'anomenem i mirarem que passa amb les imatges d'aquest entorn. A sota podeu veure'n una representació gràfica.

Veiem que si les estan en un entorn amb punt central les imatges d'aquest entorn estan en un entorn de centre i radi , això és, en un interval . Si fem aquest entorn de cada vegada més petit, podem veure que les imatges cada vegada s'acosten més a . D'aquesta manera podem afirmar que:

Això, expressat en un altre llenguatge, és:

Definició de límit d'una funció en un punt

Anem a definir més rigorosament el límit d'una funció en un punt:

Límits laterals

Quan parlem del límit d'una funció en un punt, també podem considerar-ne els límits laterals, què passa amb la funció quan ens acostem al punt per l'esquerra i què passa amb la funció quan ens acostem al punt per la dreta.

Per estudiar això fixem-nos amb la funció part entera: , que representem a continuació. Aquesta funció assigna a cada nombre real el nombre enter que compleix: .

Si estudiem què passa quan ens acostem a per l'esquerra (valors més petits que ) i per la dreta (valors més grans que ) veiem que obtenim dos resultats diferents:

Quan els límits laterals no coincideixen, diem que . Per tant:

en cas contrari (els límits laterals no coincideixen) el límit no existeix.

Límits d'una funció a l'infinit

En aquest apartat volem veure què passa amb una funció quan prenem molt i molt petites i molt i molt grans . Quan calculem aquests límits, si el resultat és un nombre, podrem assegurar que la funció té una assímptota horitzonal:

Si en hi ha una assímptota horitzontal

En canvi,

Si La funció no té assímptotes horitzontals

Exemple 2

Estudia els límits infinits de la funció

Per tant, aquesta funció tindrà dues assímptotes horitzontals en . Anem a veure-ho amb la gràfica:

Límits infinits

Ens interessa veure què els passa a les funcions quan al calcular un límit ens dóna com a resultat . Anem a veure-ho a través d'un exemple.

Exemple 3

Donada la funció representa-la i estudia què passa quan .

Aquesta és una funció racional amb domini . Anem a veure què passa quan ens acostem a 1 per l'esquerra () i per la dreta: (). Si ho mirem a través d'una taula de valors:

Per tant, de la taula podem deduir:

Si representem gràficament aquesta funció veurem què passa de manera més clara:

Veiem que la funció té una assímptota vertical per l'esquerra en i una assímptota vertical per la dreta també en .

Si en hi ha una assímptota vertical

Mètode per a resoldre indeterminacions del tipus

Ens podem trobar que com a conseqüència del càlcul d'un límit, ens trobem amb alguna indeterminació. Al tema passat ja vam veure com resoldre indeterminacions del tipus , i . Anem a veure aquí una altra indeterminació: . En general ens hi trobarem amb fraccions algebraiques. En aquest cas ens caldrà descomposar els polinomis numerador i denominador de les fraccions algebraiques com a producte de polinomis irreductibles. Això segurament ens permetrà simplificar algun factor i podrem calcular el límit.

Exemple 4

Calcula aquest límit:

Continuïtat d'una funció en un punt

Intuïtivament una funció és contínua en un punt quan per dibuixar la gràfica no aixequem el llapis del paper quan passem per aquest punt. Anem a definir-ho d'una manera més formal.

Una funció és contínua en si s'acompleix alguna de les condicions següents:

  1. i és un nombre

A partir d'aquí també podem afirmar:

és contínua en

Si parlem d'intervals:

és contínua en un interval si és contínua en tots els punts d'aquest interval.

Discontinuïtats

Quan el que hem explicat en l'apartat anterior no passa, tindrem que la funció és discontínua en . Hi poden haver 3 tipus de discontinuïtats diferents, anem-les a revisar.

Discontinuïtat evitable

S'anomena discontinuïtat evitable de en quan no existeix però en canvi sí que existeix el seu límit: .

La discontinuïtat es pot evitar assignant-li a com a imatge el seu límit: . La funció que en resulta s'anomena funció prolongada de per continuïtat.

Es pot demostrar que això passa quan la indeterminació obtinguda en calcular el límit és .

Exemple 5

Anem a estudiar la continuïtat de la funció en . Si ens hi fixem, el domini de la funció és . Si estudiem una mica més la funció, veiem que:

Hi ha una discontinuïtat evitable en tal i com podem veure a la representació gràfica:

Per prolongar aquesta funció per continuïtat n'hi hauria prou d'assignar: .

Discontinuïtat de salt

Tenim una discontinuïtat de salt quan els límits laterals d'una funció en un punt no coincideixen:

Llavors el tamany del salt equivaldrà a la distància entre límits:

En aquest cas pot ser que existeixi o no . Un exemple d'això seria la funció part entera, .

Discontinuïtat assimptòtica

Tenim una discontinuïtat assimptòtica quan un límit lateral o tots dos tenen com a resultat infinit:

En aquest cas podem afirmar que en hi ha una assímptota vertical.

Es pot demostrar que això passa quan .

L'exemple 2 i l'exemple 3 il.lustren aquest cas.