Tema 11: Funció exponencial i logarítmica

En aquest tema estudiarem les característiques bàsiques de les funcions exponencials i logarítmiques, la seva representació gràfica i algunes de les seves particularitats.

La funció exponencial

Les funcions exponencials són totes aquelles expressades per potències on a l'exponent hi figura la incògnita (un nombre real) i la base un nombre real positiu.

Definició

Donat un nombre positiu () anomenem funció exponencial de base i la representem per a l'aplicació següent:

Representació gràfica

D'entrada podem distingir 2 casos, el cas en que i el cas en que . Observa amb atenció el gràfic de sota. Varia el valor de i estudia què passa amb cadascun dels casos.

Exemple 1

Representa gràficament la funció i la funció sobre els mateixos eixos de coordenades. Explica què passa.

Veiem que Les dues funcions són simètriques respecte els eixos de coordenades. Ambdues passen pel punt , ja que qualsevol nombre elevat a zero és . és sempre creixent i té una assímptota horitzontal cap a en i és sempre decreixent i té una assímptota horitzontal cap a en .

Exemple 2

En qualsevol desintegració radioactiva es compleix l'expressió següent:

on és la quantitat inicial d'àtoms i és una constant que depèn de l'element radioactiu i s'anomena constant de desintegració. De fet, té unitats de . Així, l'expressió anterior també es pot escriure com:

on s'anomena temps de desintegració (mean lifetime en anglès) i és el temps que triga la mostra a reduir-se en un factor (de passar de àtoms a ). En mostres radioactives també es defineix el període de semidesintegració o vida mitjana (half life en anglès) que és el temps que triga la mostra a reduir-se a la meitat.

Amb aquesta explicació, calculeu el temps de desintegració i la vida mitjana d'una mostra radioactiva que es redueix el al cap d'un any.

Per calcular la vida mitjana, , recordem que és el temps que triga la mostra a reduir-se a la meitat:

Propietats

Propietats generals

  1. És contínua en
  2. El domini són tots els reals i el recorregut són tots els nombres reals positius:

Propietats particulars

  1. Si la funció és creixent en
  2. Si la funció és decreixent en
  3. La funció exponencial té en l'eix de les una assímptota horitzontal
  4. La funció exponencial no té ni màxims ni mínims
  5. La funció exponencial és sempre cóncava

La funció logarítmica

Ja vam veure els logaritmes i les seves propietats al tema 1. Aquí ho estudiarem des d'una perspectiva diferent, el logaritme com a funció.

Definició

S'anomena funció logarítmica en base () a l'aplicació que representarem com i que compleix:

La funció logarítmica és la inversa de la funció exponencial, de tal manera que si i es compleix:

Representació gràfica

A sota veiem representada la funció per a diferents valors del paràmetre . Veieu que és una funció amb domini els reals positius, perquè no existeix el logaritme d'un nombre negatiu. Podeu anar variant el paràmetre i veureu com canvia la forma de la funció.

Exemple 2 Representa sobre els mateixos eixos les funcions i i compara-les.

Veiem que són simètriques respecte la bisectriu del 1r i el 3r quadrants, la recta . Això ha de ser d'aquesta manera, perquè ja hem dit abans que són l'una l'inversa de l'altra. També veiem que mentre que la corba exponencial passa pel punt , la corba logarítmica passa pel punt (el logaritme de sempre és ja que qualsevol nombre elevat a és ).

Propietats

Propietats generals

  1. És contínua en
  2. El domini són tots els reals positius i el recorregut són tots els nombres reals:
  3. (canvi de base)

Propietats particulars

  1. Si la funció és creixent
  2. Si la funció és decreixent
  3. La funció logarítmica té en l'eix de les una assímptota vertical
  4. La funció logarítmica no té màxims ni mínims
  5. Si la funció és convexa
  6. Si la funció és còncava
  7. La funció logarítmica no té ni màxims ni mínims